SCAU 高等数学期末复习笔记（同济版蓝本）

适用范围：以同济版《高等数学》体系为蓝本，覆盖期末常见的极限、微分、积分、微分方程、空间解析几何、多元微积分、重积分、曲线曲面积分、无穷级数等内容。实际考试范围以任课老师划定为准。

复习目标：不只背公式，还要知道“为什么这么做”“题目长什么样”“容易在哪里丢分”。

0. 考前总览

0.1 高数主线

高等数学的核心逻辑可以概括为：

$$
\text{极限}\Longrightarrow \text{导数/微分}\Longrightarrow \text{积分}\Longrightarrow \text{多元化、几何化、级数化}
$$

• 极限：研究“无限接近”时的趋势，是微积分所有定义的基础。
• 导数：研究局部变化率，几何上是切线斜率。
• 积分：研究无限细分后的累加，几何上是面积、体积、弧长等。
• 微分方程：把“变化规律”写成方程并求函数。
• 多元微积分：把一元的变化率和累加推广到平面、空间。
• 级数：把函数表示成无穷项之和，常与泰勒公式、幂级数结合。

0.2 考试答题规范

1. 先写条件：连续、可导、闭区间、开区间、方向、积分区域等必须交代。
2. 极限先判型：直接代入，判断是否为 $0/0,\infty/\infty,1^\infty,0\cdot\infty,\infty-\infty$。
3. 中值定理题先验条件：连续于闭区间、可导于开区间。
4. 积分题注意常数：不定积分最后必须写 $+C$；定积分换元必须换限。
5. 多元题画区域：重积分、曲线曲面积分先画图或写清区域。
6. 级数题先看通项极限：若 $a_n\not\to0$，级数必发散。

0.3 必背基础公式速查

常用等价无穷小（$x\to0$）

$$
\sin x\sim x,\quad \tan x\sim x,\quad \arcsin x\sim x,\quad \arctan x\sim x
$$

$$
1-\cos x\sim \frac{x^2}{2},\quad e^x-1\sim x,\quad \ln(1+x)\sim x
$$

$$
(1+x)^\alpha-1\sim \alpha x,\quad a^x-1\sim x\ln a\quad(a>0,a\ne1)
$$

常用泰勒展开（$x\to0$）

$$
e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots
$$

$$
\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots
$$

$$
\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots
$$

$$
\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots\quad(|x|<1)
$$

$$
(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots
$$

常用导数

$$
(C)’=0,\quad (x^\alpha)’=\alpha x^{\alpha-1},\quad (e^x)’=e^x,\quad (a^x)’=a^x\ln a
$$

$$
(\ln x)’=\frac1x,\quad (\sin x)’=\cos x,\quad (\cos x)’=-\sin x
$$

$$
(\tan x)’=\sec^2x,\quad (\arctan x)’=\frac1{1+x^2},\quad (\arcsin x)’=\frac1{\sqrt{1-x^2}}
$$

常用积分

$$
\int x^\alpha dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C\quad(\alpha\ne-1),\qquad \int \frac{dx}{x}=\ln|x|+C
$$

$$
\int e^x dx=e^x+C,\quad \int a^x dx=\frac{a^x}{\ln a}+C
$$

$$
\int \sin x,dx=-\cos x+C,\quad \int \cos x,dx=\sin x+C
$$

$$
\int \frac{dx}{1+x^2}=\arctan x+C,\quad \int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C
$$

1. 函数、极限与连续

1.1 核心概念

函数与定义域

函数 $y=f(x)$ 是从自变量集合到因变量集合的对应关系。求函数表达式时必须同时关注：

• 分母不能为 $0$；
• 偶次根号内非负；
• 对数真数大于 $0$；
• 反三角函数自变量范围；
• 分段函数在分段点处的定义。

极限

$$
\lim_{x\to a}f(x)=A
$$

表示当 $x$ 无限接近 $a$ 时，$f(x)$ 无限接近 $A$。极限关注的是趋近过程，不一定要求 $f(a)$ 有定义。

左右极限：

$$
\lim_{x\to a^-}f(x),\qquad \lim_{x\to a^+}f(x)
$$

极限存在的充要条件：左右极限都存在且相等。

无穷小与无穷大

• 若 $\lim f(x)=0$，称 $f(x)$ 为无穷小。
• 若 $|f(x)|\to\infty$，称 $f(x)$ 为无穷大。
• 有界函数乘无穷小仍是无穷小。

连续

函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 连续：

$$
\lim_{x\to a}f(x)=f(a)
$$

也就是：极限存在、函数值存在、二者相等。

1.2 求极限通用流程

1. 直接代入：能代就代。
2. 判断未定式：$0/0,\infty/\infty,1^\infty,0\cdot\infty,\infty-\infty,0^0,\infty^0$。
3. 选择工具：
   • 因式分解；
   • 有理化；
   • 等价无穷小；
   • 泰勒展开；
   • 洛必达法则；
   • 夹逼准则；
   • 单调有界；
   • 定积分定义。

1.3 常考题型与解析

题型 1：因式分解型 $0/0$

例题：

$$
\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}
$$

解析：代入得 $0/0$，分解因式：

$$
\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)}=\frac{x+1}{x-2}
$$

所以：

$$
\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x^2-3x+2}=\frac2{-1}=-2
$$

方法总结：分母为 $0$ 时，通常隐藏着 $(x-a)$ 因子；先约掉“导致 $0$ 的因子”。

题型 2：根式有理化

例题：

$$
\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}
$$

解析：代入得 $0/0$。有理化：

$$
\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}\cdot\frac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1}
=\frac{1+x-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}
=\frac1{\sqrt{1+x}+1}
$$

所以：

$$
\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac12
$$

易错点：根号相减优先想到“乘共轭”。

题型 3：等价无穷小代换

例题：

$$
\lim_{x\to0}\frac{\sin3x\cdot\ln(1+2x)}{x^2}
$$

解析：

$$
\sin3x\sim3x,\qquad \ln(1+2x)\sim2x
$$

因此：

$$
\lim_{x\to0}\frac{\sin3x\cdot\ln(1+2x)}{x^2}
=\lim_{x\to0}\frac{3x\cdot2x}{x^2}=6
$$

方法总结：乘除结构中可直接替换等价无穷小。

易错点：加减结构不能随便替换。例如 $\sin x-x$ 不能把 $\sin x$ 直接换成 $x$ 后得到 $0$，那会丢失高阶信息。

题型 4：泰勒展开处理加减抵消

例题：

$$
\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}
$$

解析：

$$
\sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3),\qquad \cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)
$$

所以：

$$
x\cos x=x-\frac{x^3}{2}+o(x^3)
$$

$$
\sin x-x\cos x=igg(x-\frac{x^3}{6}\bigg)-\bigg(x-\frac{x^3}{2}\bigg)+o(x^3)=\frac{x^3}{3}+o(x^3)
$$

因此：

$$
\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x\cos x}{x^3}=\frac13
$$

方法总结：分母到几阶，分子通常至少展开到同阶。

题型 5：$1^\infty$ 型极限

例题：

$$
\lim_{x\to0}(\cos x)^{1/x^2}
$$

解析：设极限为 $L$，取对数：

$$
\ln L=\lim_{x\to0}\frac{\ln(\cos x)}{x^2}
$$

因为：

$$
\ln(\cos x)=\ln\left(1+\cos x-1\right)\sim \cos x-1\sim-\frac{x^2}{2}
$$

所以：

$$
\ln L=-\frac12
$$

故：

$$
L=e^{-1/2}
$$

通法：

$$
u(x)^{v(x)}=e^{v(x)\ln u(x)}
$$

把指数极限转化为乘积极限。

题型 6：无穷远处“抓大头”

例题：

$$
\lim_{x\to\infty}\frac{2x^3-x+1}{5x^3+4x^2-7}
$$

解析：最高次项决定极限：

$$
\lim_{x\to\infty}\frac{2x^3-x+1}{5x^3+4x^2-7}=\frac25
$$

增长速度常用排序：

$$
\ln x\ll x^a\ll b^x\ll x!\ll x^x\quad(a>0,b>1)
$$

题型 7：洛必达法则

例题：

$$
\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}
$$

解析一：泰勒

$$
e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)
$$

所以：

$$
\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\frac12
$$

解析二：洛必达

原式为 $0/0$，连续两次洛必达：

$$
\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{2x}=\lim_{x\to0}\frac{e^x}{2}=\frac12
$$

易错点：洛必达只能用于符合条件的未定式；不能看到分式就乱用。

题型 8：夹逼准则

例题：

$$
\lim_{x\to0}x^2\sin\frac1x
$$

解析：

$$
-1\le \sin\frac1x\le1
$$

两边乘 $x^2\ge0$：

$$
-x^2\le x^2\sin\frac1x\le x^2
$$

当 $x\to0$ 时，两边都趋于 $0$，所以：

$$
\lim_{x\to0}x^2\sin\frac1x=0
$$

题型 9：连续性与参数求解

例题：设

$$
f(x)=\begin{cases}
\dfrac{\sin ax}{x},&x\ne0,\
3,&x=0.
\end{cases}
$$

若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，求 $a$。

解析：连续要求：

$$
\lim_{x\to0}\frac{\sin ax}{x}=f(0)=3
$$

因为 $\sin ax\sim ax$，故极限为 $a$，所以：

$$
a=3
$$

题型 10：间断点分类

例题：讨论

$$
f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}
$$

在 $x=1$ 处的间断类型。

解析：当 $x\ne1$ 时：

$$
f(x)=x+1
$$

所以：

$$
\lim_{x\to1}f(x)=2
$$

但原函数在 $x=1$ 无定义，因此 $x=1$ 为可去间断点。

1.4 易错点汇总

• $\frac{1}{0}$ 不是实数，不能写等于某个数；要看左右极限是否趋于无穷。
• 等价无穷小只适合整体乘除，不适合直接替换加减中的某一项。
• 分段函数在分界点必须分别算左极限、右极限和函数值。
• 连续一定有极限；有极限不一定连续，因为函数值可能不存在或不相等。
• 判断间断点时先看左右极限是否存在，再看是否相等，最后看是否等于函数值。

2. 一元函数微分学

2.1 核心概念

导数定义

$$
f’(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}
$$

导数表示函数在 $x_0$ 处的瞬时变化率。

几何意义：曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处切线斜率。

物理意义：位移对时间的导数是速度，速度对时间的导数是加速度。

可导与连续

若 $f$ 在 $x_0$ 处可导，则 $f$ 在 $x_0$ 处连续。

反过来不一定成立。例如 $f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 连续但不可导。

微分

若 $y=f(x)$ 可导，则：

$$
dy=f’(x)dx
$$

微分是函数增量的线性主部：

$$
\Delta y=f’(x)\Delta x+o(\Delta x)
$$

2.2 求导法则

$$
(uv)’=u’v+uv’
$$

$$
\left(\frac uv\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2}
$$

$$
[f(g(x))]’=f’(g(x))g’(x)
$$

反函数求导：若 $y=f(x)$ 有反函数 $x=\varphi(y)$，则：

$$
\frac{dy}{dx}=\frac1{dx/dy}
$$

2.3 常考题型与解析

题型 1：用定义判断某点可导

例题：设

$$
f(x)=\begin{cases}
x^2\sin\frac1x,&x\ne0,\
0,&x=0.
\end{cases}
$$

求 $f’(0)$。

解析：必须用定义：

$$
f’(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}
=\lim_{x\to0}x\sin\frac1x
$$

由夹逼准则，$x\sin\frac1x\to0$，所以：

$$
f’(0)=0
$$

易错点：分段点、绝对值点、根式尖点不能直接套普通求导公式。

题型 2：复合函数求导

例题：求

$$
y=\ln(1+e^{2x})
$$

的导数。

解析：外层是 $\ln u$，内层 $u=1+e^{2x}$：

$$
y’=\frac1{1+e^{2x}}\cdot 2e^{2x}=\frac{2e^{2x}}{1+e^{2x}}
$$

题型 3：对数求导法

例题：求

$$
y=x^x\quad(x>0)
$$

的导数。

解析：两边取对数：

$$
\ln y=x\ln x
$$

两边对 $x$ 求导：

$$
\frac{y’}y=\ln x+1
$$

所以：

$$
y’=x^x(\ln x+1)
$$

适用场景：幂指函数、多个因子连乘、复杂乘除幂结构。

题型 4：隐函数求导

例题：由

$$
x^2+y^2+xy=3
$$

确定 $y=y(x)$，求 $y’$。

解析：两边对 $x$ 求导：

$$
2x+2yy’+y+xy’=0
$$

整理：

$$
(2y+x)y’=-(2x+y)
$$

所以：

$$
y’=-\frac{2x+y}{x+2y}
$$

易错点：对含 $y$ 的项求导时要乘 $y’$。

题型 5：参数方程求导

例题：设

$$
x=t^2+1,\qquad y=t^3-t
$$

求 $\dfrac{dy}{dx}$ 和 $\dfrac{d^2y}{dx^2}$。

解析：

$$
\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{3t^2-1}{2t}
$$

二阶导数不是 $\dfrac{y’’(t)}{x’’(t)}$，而是：

$$
\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)\bigg/\frac{dx}{dt}
$$

先化简：

$$
\frac{dy}{dx}=\frac{3t}{2}-\frac1{2t}
$$

对 $t$ 求导：

$$
\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac32+\frac1{2t^2}
$$

因此：

$$
\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac32+\frac1{2t^2}}{2t}=\frac{3t^2+1}{4t^3}
$$

题型 6：切线与法线

例题：求曲线

$$
y=x^3-3x
$$

在 $x=1$ 处的切线方程和法线方程。

解析：

$$
y’=3x^2-3
$$

当 $x=1$ 时，$y=-2$，切线斜率：

$$
k=y’(1)=0
$$

切线：

$$
y=-2
$$

法线斜率与切线斜率乘积为 $-1$。此处切线水平，法线竖直：

$$
x=1
$$

题型 7：微分近似

例题：估算 $\sqrt{4.04}$。

解析：取 $f(x)=\sqrt{x}$，在 $x_0=4$ 附近线性近似：

$$
f(4.04)\approx f(4)+f’(4)(0.04)
$$

$$
f(4)=2,\qquad f’(x)=\frac1{2\sqrt{x}},\qquad f’(4)=\frac14
$$

所以：

$$
\sqrt{4.04}\approx2+\frac14\cdot0.04=2.01
$$

2.4 易错点汇总

• 可导必连续，连续不一定可导。
• 左导数与右导数不相等则不可导，例如 $|x|$ 在 $0$ 处。
• 隐函数求导时 $y$ 是 $x$ 的函数，不能把 $y$ 当常数。
• 参数方程二阶导数公式最容易错：必须再除以 $dx/dt$。
• 法线斜率为 $-1/k$ 只适用于切线斜率 $k\ne0$；水平切线的法线是竖直线。

3. 中值定理、泰勒公式与导数应用

3.1 核心定理

费马定理

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且在 $x_0$ 处取得极值，则：

$$
f’(x_0)=0
$$

注意：极值点不一定都满足导数为零，因为有些点不可导。

罗尔定理

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，且 $f(a)=f(b)$，则存在 $\xi\in(a,b)$，使得：

$$
f’(\xi)=0
$$

拉格朗日中值定理

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，则存在 $\xi\in(a,b)$，使得：

$$
f’(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}
$$

等价写法：

$$
f(b)-f(a)=f’(\xi)(b-a)
$$

柯西中值定理

若 $f,g$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，且 $g’(x)\ne0$，则存在 $\xi\in(a,b)$，使得：

$$
\frac{f’(\xi)}{g’(\xi)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}
$$

泰勒公式

在 $x=0$ 处的麦克劳林展开：

$$
f(x)=f(0)+f’(0)x+\frac{f’’(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+o(x^n)
$$

3.2 常考题型与解析

题型 1：证明方程根的存在性

例题：证明方程

$$
x^3+x-1=0
$$

在 $(0,1)$ 内至少有一个实根。

解析：设

$$
f(x)=x^3+x-1
$$

$f$ 在 $[0,1]$ 连续，且：

$$
f(0)=-1<0,\qquad f(1)=1>0
$$

由零点定理，存在 $\xi\in(0,1)$，使得：

$$
f(\xi)=0
$$

故方程在 $(0,1)$ 内至少有一个实根。

题型 2：证明根的唯一性

例题：证明方程 $x^3+x-1=0$ 在 $(0,1)$ 内只有一个实根。

解析：

$$
f’(x)=3x^2+1>0
$$

所以 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格单调递增。严格单调函数至多有一个零点。结合上一题已知至少一个实根，因此在 $(0,1)$ 内有且仅有一个实根。

题型 3：拉格朗日中值定理证明不等式

例题：设 $0<a<b$，证明：

$$
\frac{b-a}{b}<\ln b-\ln a<\frac{b-a}{a}
$$

解析：对 $f(x)=\ln x$ 在 $[a,b]$ 上使用拉格朗日中值定理，存在 $\xi\in(a,b)$，使得：

$$
\ln b-\ln a=f’(\xi)(b-a)=\frac{b-a}{\xi}
$$

因为 $a<\xi<b$，所以：

$$
\frac1b<\frac1\xi<\frac1a
$$

两边乘以 $b-a>0$，得：

$$
\frac{b-a}{b}<\ln b-\ln a<\frac{b-a}{a}
$$

题型 4：构造辅助函数证明中值等式

例题：设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，且 $f(a)=f(b)=0$。证明存在 $\xi\in(a,b)$，使：

$$
f’(\xi)+f(\xi)=0
$$

解析：看到 $f’(x)+f(x)$，想到乘以 $e^x$：

$$
F(x)=e^x f(x)
$$

则 $F$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，并且：

$$
F(a)=e^a f(a)=0,
\qquad
F(b)=e^b f(b)=0
$$

由罗尔定理，存在 $\xi\in(a,b)$，使：

$$
F’(\xi)=0
$$

而：

$$
F’(x)=e^x[f’(x)+f(x)]
$$

所以：

$$
e^\xi[f’(\xi)+f(\xi)]=0
$$

由于 $e^\xi\ne0$，故：

$$
f’(\xi)+f(\xi)=0
$$

常见辅助函数模型：

题型 5：泰勒公式求极限

例题：

$$
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-x+\frac{x^2}{2}}{x^3}
$$

解析：

$$
\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)
$$

所以分子为：

$$
x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-x+\frac{x^2}{2}+o(x^3)=\frac{x^3}{3}+o(x^3)
$$

因此：

$$
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-x+\frac{x^2}{2}}{x^3}=\frac13
$$

题型 6：泰勒公式求高阶导数

例题：设

$$
f(x)=e^{x^2}
$$

求 $f^{(6)}(0)$。

解析：

$$
e^{x^2}=1+x^2+\frac{x^4}{2!}+\frac{x^6}{3!}+\cdots
$$

泰勒展开中 $x^6$ 的系数为 $\frac1{3!}=\frac16$。

又：

$$
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
$$

所以：

$$
\frac{f^{(6)}(0)}{6!}=\frac16
$$

因此：

$$
f^{(6)}(0)=\frac{6!}{6}=120
$$

题型 7：函数单调性、极值、凹凸性

例题：讨论

$$
f(x)=x-\ln x\quad(x>0)
$$

的单调性与极值。

解析：

$$
f’(x)=1-\frac1x=\frac{x-1}{x}
$$

当 $0<x<1$ 时，$f’(x)<0$；当 $x>1$ 时，$f’(x)>0$。

所以 $f$ 在 $(0,1)$ 单调递减，在 $(1,+\infty)$ 单调递增。

$x=1$ 为极小值点：

$$
f(1)=1
$$

故极小值为 $1$。

再看凹凸性：

$$
f’’(x)=\frac1{x^2}>0
$$

所以曲线在 $(0,+\infty)$ 上是凹向上的。

3.3 易错点汇总

• 中值定理必须先检查连续、可导、端点条件。
• 罗尔定理的结论是某点导数为零，不是所有点导数为零。
• 证明不等式时，中值定理常把函数值差转化为导数，再利用 $\xi$ 的范围放缩。
• 泰勒展开必须展开到足够阶数。
• 极值点可能出现在导数为零处、导数不存在处、区间端点处。

4. 不定积分

4.1 核心概念

若 $F’(x)=f(x)$，则 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数。

不定积分：

$$
\int f(x)dx=F(x)+C
$$

其中 $C$ 是任意常数。

不定积分本质是“求导的逆运算”，但比求导更依赖观察和变形。

4.2 主要方法

1. 直接积分法：套基本公式。
2. 第一类换元法/凑微分法：把某一部分凑成 $d\varphi(x)$。
3. 第二类换元法：令 $x=\varphi(t)$，常用于去根号。
4. 分部积分法：

$$
\int u,dv=uv-\int v,du
$$

5. 有理函数积分法：多项式除法、部分分式分解。

4.3 常考题型与解析

题型 1：凑微分

例题：

$$
\int x e^{x^2},dx
$$

解析：因为 $d(x^2)=2x,dx$，所以：

$$
\int x e^{x^2},dx=\frac12\int e^{x^2}d(x^2)=\frac12e^{x^2}+C
$$

题型 2：分母配方

例题：

$$
\int\frac{dx}{x^2+4x+5}
$$

解析：配方：

$$
x^2+4x+5=(x+2)^2+1
$$

因此：

$$
\int\frac{dx}{x^2+4x+5}=\int\frac{d(x+2)}{(x+2)^2+1}=\arctan(x+2)+C
$$

题型 3：部分分式

例题：

$$
\int\frac{x^2}{x^2-1},dx
$$

解析：先做变形：

$$
\frac{x^2}{x^2-1}=1+\frac1{x^2-1}
$$

且：

$$
\frac1{x^2-1}=\frac1{(x-1)(x+1)}=\frac12\left(\frac1{x-1}-\frac1{x+1}\right)
$$

所以：

$$
\int\frac{x^2}{x^2-1},dx
=x+\frac12\ln|x-1|-\frac12\ln|x+1|+C
$$

即：

$$
\int\frac{x^2}{x^2-1},dx=x+\frac12\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C
$$

题型 4：分部积分

例题：

$$
\int x\ln x,dx\quad(x>0)
$$

解析：令：

$$
u=\ln x,\qquad dv=x,dx
$$

则：

$$
du=\frac1x dx,\qquad v=\frac{x^2}{2}
$$

所以：

$$
\int x\ln x,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\int\frac{x^2}{2}\cdot\frac1x dx
$$

$$
=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac12\int x,dx
=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C
$$

选 $u$ 口诀：反对幂三指，即反三角、对数、幂函数、三角、指数，越靠前越适合求导。

题型 5：三角函数积分

例题：

$$
\int \sin^3x,dx
$$

解析：拆出一个 $\sin x$：

$$
\sin^3x=\sin x(1-\cos^2x)
$$

令 $u=\cos x$，$du=-\sin x,dx$：

$$
\int \sin^3x,dx=-\int(1-u^2)du=-u+\frac{u^3}{3}+C
$$

故：

$$
\int \sin^3x,dx=-\cos x+\frac{\cos^3x}{3}+C
$$

题型 6：根式换元

例题：

$$
\int\sqrt{1-x^2},dx
$$

解析：令 $x=\sin t$，则 $dx=\cos t,dt$，且：

$$
\sqrt{1-x^2}=\cos t
$$

于是：

$$
\int\sqrt{1-x^2},dx=\int\cos^2t,dt
$$

利用半角公式：

$$
\cos^2t=\frac{1+\cos2t}{2}
$$

所以：

$$
\int\cos^2t,dt=\frac t2+\frac{\sin2t}{4}+C
$$

代回 $t=\arcsin x$，且 $\sin2t=2\sin t\cos t=2x\sqrt{1-x^2}$，得：

$$
\int\sqrt{1-x^2},dx=\frac12\arcsin x+\frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}+C
$$

4.4 易错点汇总

• 不定积分一定要写 $+C$。
• 换元后最终要代回原变量，除非题目允许用新变量表示。
• 分部积分中 $u,dv$ 选错会越算越复杂。
• 有理函数若分子次数不低于分母，先做多项式除法。
• $\int\frac{dx}{x}=\ln|x|+C$，绝对值不能漏。

5. 定积分、反常积分与应用

5.1 核心概念

定积分：

$$
\int_a^b f(x)dx
$$

表示函数在区间上的累积量。若 $f(x)\ge0$，它表示曲边梯形面积。

牛顿-莱布尼茨公式：

$$
\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a),\qquad F’(x)=f(x)
$$

5.2 定积分性质

• 线性性：

$$
\int_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha\int_a^b f(x)dx+\beta\int_a^b g(x)dx
$$

• 区间可加性：

$$
\int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx
$$

• 奇偶性：

若 $f$ 为奇函数：

$$
\int_{-a}^{a}f(x)dx=0
$$

若 $f$ 为偶函数：

$$
\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_0^a f(x)dx
$$

5.3 常考题型与解析

题型 1：利用对称性

例题：

$$
\int_{-1}^{1}\frac{x^3+x}{1+x^2}dx
$$

解析：

$$
f(x)=\frac{x^3+x}{1+x^2}
$$

分子是奇函数，分母是偶函数，所以整体是奇函数。对称区间积分为 $0$：

$$
\int_{-1}^{1}\frac{x^3+x}{1+x^2}dx=0
$$

题型 2：变上限积分求导

例题：设

$$
F(x)=\int_{x^2}^{\sin x}e^{t^2}dt
$$

求 $F’(x)$。

解析：上下限都是函数。公式：

$$
\frac{d}{dx}\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt=f(v(x))v’(x)-f(u(x))u’(x)
$$

所以：

$$
F’(x)=e^{\sin^2x}\cos x-e^{x^4}\cdot2x
$$

题型 3：定积分换元

例题：

$$
\int_0^1 \frac{2x}{1+x^2}dx
$$

解析：令 $u=1+x^2$，则 $du=2x,dx$。

换限：当 $x=0$，$u=1$；当 $x=1$，$u=2$。

所以：

$$
\int_0^1 \frac{2x}{1+x^2}dx=\int_1^2\frac{du}{u}=\ln2
$$

易错点：定积分换元后必须换上下限；若不换限，就必须最后代回 $x$ 再代上下限。

题型 4：定积分定义求数列极限

例题：

$$
\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\frac1{n+i}
$$

解析：

$$
\frac1{n+i}=\frac1n\cdot\frac1{1+i/n}
$$

所以：

$$
\sum_{i=1}^n\frac1{n+i}=\frac1n\sum_{i=1}^n\frac1{1+i/n}
$$

由定积分定义：

$$
\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n f\left(\frac in\right)=\int_0^1 f(x)dx
$$

故原极限为：

$$
\int_0^1\frac{dx}{1+x}=\ln2
$$

题型 5：积分不等式

例题：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $m\le f(x)\le M$，证明：

$$
m(b-a)\le\int_a^b f(x)dx\le M(b-a)
$$

解析：由 $m\le f(x)\le M$，两边积分：

$$
\int_a^b m,dx\le\int_a^b f(x)dx\le\int_a^b M,dx
$$

即：

$$
m(b-a)\le\int_a^b f(x)dx\le M(b-a)
$$

题型 6：反常积分敛散性

例题：判断

$$
\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}
$$

的敛散性。

解析：当 $p\ne1$ 时：

$$
\int_1^A x^{-p}dx=\frac{A^{1-p}-1}{1-p}
$$

若 $p>1$，$A^{1-p}\to0$，积分收敛；若 $p<1$，$A^{1-p}\to\infty$，积分发散。

当 $p=1$ 时：

$$
\int_1^A\frac{dx}{x}=\ln A\to\infty
$$

发散。

结论：

$$
\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^p}\begin{cases}
\text{收敛},&p>1,\
\text{发散},&p\le1.
\end{cases}
$$

5.4 定积分应用

面积

若区域由 $y=f(x)$ 与 $y=g(x)$ 围成，且 $f(x)\ge g(x)$，则面积：

$$
S=\int_a^b [f(x)-g(x)]dx
$$

例题：求 $y=x$ 与 $y=x^2$ 围成的面积。

交点：$x=x^2$，得 $x=0,1$。在 $[0,1]$ 上，$x\ge x^2$。

$$
S=\int_0^1(x-x^2)dx=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac16
$$

旋转体体积

绕 $x$ 轴旋转：

$$
V=\pi\int_a^b [f(x)]^2dx
$$

例题：曲线 $y=\sqrt{x}$，$0\le x\le1$，绕 $x$ 轴旋转所得体积。

$$
V=\pi\int_0^1(\sqrt{x})^2dx=\pi\int_0^1x,dx=\frac\pi2
$$

弧长

曲线 $y=f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的弧长：

$$
L=\int_a^b\sqrt{1+[f’(x)]^2}dx
$$

例题：求 $y=\frac23x^{3/2}$ 在 $[0,1]$ 上的弧长。

$$
y’=\sqrt{x}
$$

$$
L=\int_0^1\sqrt{1+x}dx=\left[\frac23(1+x)^{3/2}\right]_0^1=\frac23(2\sqrt2-1)
$$

5.5 易错点汇总

• 定积分结果是数，不应再带 $x$。
• 定积分换元必须换限。
• 面积必须是“上减下”或“右减左”，不能直接把函数相减后不看正负。
• 反常积分不能直接套牛顿-莱布尼茨公式，要先写成极限。
• 变上限积分中若上下限都是函数，要分别求导并注意下限前的负号。

6. 常微分方程

6.1 核心概念

微分方程是含有未知函数及其导数的方程。

• 阶数：方程中最高阶导数的阶数。
• 通解：含有任意常数的解。
• 特解：由初始条件确定常数后的解。

6.2 常考题型与解析

题型 1：可分离变量方程

例题：解方程

$$
\frac{dy}{dx}=xy
$$

解析：若 $y\ne0$，分离变量：

$$
\frac{dy}{y}=x,dx
$$

积分：

$$
\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C
$$

所以：

$$
y=Ce^{x^2/2}
$$

其中 $C$ 可取 $0$，包含零解。

题型 2：齐次一阶微分方程

例题：解

$$
\frac{dy}{dx}=1+\frac yx
$$

解析：令 $y=vx$，则：

$$
y’=v+xv’
$$

代入：

$$
v+xv’=1+v
$$

所以：

$$
xv’=1
$$

$$
dv=\frac{dx}{x}
$$

积分：

$$
v=\ln|x|+C
$$

所以：

$$
y=x(\ln|x|+C)
$$

题型 3：一阶线性微分方程

标准形式：

$$
y’+P(x)y=Q(x)
$$

积分因子：

$$
\mu(x)=e^{\int P(x)dx}
$$

通解公式：

$$
y=e^{-\int Pdx}\left(\int Qe^{\int Pdx}dx+C\right)
$$

例题：解

$$
y’+2y=e^{-x}
$$

解析：积分因子：

$$
\mu(x)=e^{\int2dx}=e^{2x}
$$

两边乘以 $e^{2x}$：

$$
e^{2x}y’+2e^{2x}y=e^x
$$

左边是：

$$
(e^{2x}y)’=e^x
$$

积分：

$$
e^{2x}y=e^x+C
$$

所以：

$$
y=e^{-x}+Ce^{-2x}
$$

题型 4：二阶常系数齐次线性微分方程

方程：

$$
y’’+py’+qy=0
$$

特征方程：

$$
r^2+pr+q=0
$$

• 两个不等实根 $r_1,r_2$：

$$
y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}
$$

• 重根 $r$：

$$
y=(C_1+C_2x)e^{rx}
$$

• 共轭复根 $\alpha\pm\beta i$：

$$
y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)
$$

例题：解

$$
y’’-3y’+2y=0
$$

解析：特征方程：

$$
r^2-3r+2=0
$$

$$
(r-1)(r-2)=0
$$

所以 $r_1=1,r_2=2$。通解：

$$
y=C_1e^x+C_2e^{2x}
$$

题型 5：二阶常系数非齐次方程

例题：解

$$
y’’-3y’+2y=e^{3x}
$$

解析：对应齐次方程解：

$$
y_h=C_1e^x+C_2e^{2x}
$$

设特解：

$$
y_p=Ae^{3x}
$$

代入左边：

$$
y_p’’-3y_p’+2y_p=(9A-9A+2A)e^{3x}=2Ae^{3x}
$$

令 $2A=1$，得 $A=\frac12$。

所以通解：

$$
y=C_1e^x+C_2e^{2x}+\frac12e^{3x}
$$

6.3 易错点汇总

• 分离变量时不要漏掉特殊解，例如 $y=0$。
• 一阶线性方程必须先化成 $y’+P(x)y=Q(x)$。
• 二阶常系数方程先写特征方程。
• 非齐次方程的通解 = 齐次通解 + 一个非齐次特解。
• 若右端项与齐次解重复，特解要乘 $x$ 或更高次 $x$。

7. 空间解析几何与向量代数

7.1 核心公式

向量数量积

$$
\mathbf a\cdot\mathbf b=|\mathbf a||\mathbf b|\cos\theta
$$

若 $\mathbf a\cdot\mathbf b=0$，则两向量垂直。

向量叉积

$$
|\mathbf a\times\mathbf b|=|\mathbf a||\mathbf b|\sin\theta
$$

叉积方向垂直于 $\mathbf a,\mathbf b$ 所在平面。

平面方程

过点 $(x_0,y_0,z_0)$，法向量为 $(A,B,C)$ 的平面：

$$
A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0
$$

一般式：

$$
Ax+By+Cz+D=0
$$

直线方程

过点 $(x_0,y_0,z_0)$，方向向量为 $(l,m,n)$ 的直线：

$$
\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}
$$

参数式：

$$
x=x_0+lt,\quad y=y_0+mt,\quad z=z_0+nt
$$

点到平面距离

点 $P(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $Ax+By+Cz+D=0$ 的距离：

$$
d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}
$$

7.2 常考题型与解析

题型 1：由三点求平面

例题：求过三点

$$
A(1,0,0),\quad B(0,1,0),\quad C(0,0,1)
$$

的平面方程。

解析：由截距式可直接看出：

$$
x+y+z=1
$$

若用向量法：

$$
\overrightarrow{AB}=(-1,1,0),\quad \overrightarrow{AC}=(-1,0,1)
$$

法向量：

$$
\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(1,1,1)
$$

过点 $A(1,0,0)$：

$$
(x-1)+y+z=0
$$

即：

$$
x+y+z=1
$$

题型 2：点到平面距离

例题：求原点 $O(0,0,0)$ 到平面 $x+y+z=1$ 的距离。

解析：平面写成：

$$
x+y+z-1=0
$$

所以：

$$
d=\frac{|0+0+0-1|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac1{\sqrt3}
$$

题型 3：三角形面积

例题：求上一题三点构成三角形 $ABC$ 的面积。

解析：

$$
S=\frac12|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|
$$

已知叉积为 $(1,1,1)$，所以：

$$
S=\frac12\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\frac{\sqrt3}{2}
$$

7.3 常见二次曲面

• 椭球面：

$$
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1
$$

• 单叶双曲面：

$$
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1
$$

• 双叶双曲面：

$$
\frac{z^2}{c^2}-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
$$

• 椭圆抛物面：

$$
z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}
$$

• 双曲抛物面：

$$
z=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}
$$

7.4 易错点汇总

• 平面的法向量与直线方向向量概念不能混淆。
• 两平面夹角等于法向量夹角或其补角，通常取锐角。
• 直线与平面夹角是直线方向向量与平面法向量夹角的余角。
• 叉积顺序改变会导致方向相反，但面积不受影响。
• 点到直线距离和点到平面距离公式不同。

8. 多元函数微分学

8.1 核心概念

多元函数 $z=f(x,y)$ 的极限：

$$
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A
$$

要求沿所有路径趋近时结果都为 $A$。

偏导数：

$$
f_x(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x},\qquad f_y(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}
$$

全微分：若 $z=f(x,y)$ 可微，则：

$$
dz=f_xdx+f_ydy
$$

梯度：

$$
\nabla f=(f_x,f_y)
$$

方向导数：

$$
D_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot \mathbf u
$$

其中 $\mathbf u$ 是单位方向向量。

8.2 常考题型与解析

题型 1：多元极限不存在

例题：判断

$$
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^4+y^2}
$$

是否存在。

解析：取路径 $y=kx^2$：

$$
\frac{x^2\cdot kx^2}{x^4+k^2x^4}=\frac{k}{1+k^2}
$$

该值随 $k$ 改变而改变，因此极限不存在。

方法总结：若怀疑极限不存在，找不同路径得到不同结果。

题型 2：偏导数计算

例题：设

$$
z=\ln(x^2+y^2)
$$

求 $z_x,z_y$。

解析：

$$
z_x=\frac{2x}{x^2+y^2},\qquad z_y=\frac{2y}{x^2+y^2}
$$

题型 3：复合函数求偏导

例题：设

$$
z=f(u,v),\qquad u=xy,\quad v=x+y
$$

求 $\dfrac{\partial z}{\partial x}$。

解析：链式法则：

$$
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}
$$

即：

$$
z_x=f_u\cdot y+f_v\cdot1
$$

注意 $f_u,f_v$ 在点 $(u,v)=(xy,x+y)$ 处取值。

题型 4：隐函数求偏导

例题：由

$$
x^2+y^2+z^2=xyz
$$

确定 $z=z(x,y)$，求 $z_x,z_y$。

解析：设

$$
F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-xyz=0
$$

则：

$$
z_x=-\frac{F_x}{F_z},\qquad z_y=-\frac{F_y}{F_z}
$$

其中：

$$
F_x=2x-yz,
\quad F_y=2y-xz,
\quad F_z=2z-xy
$$

所以：

$$
z_x=\frac{yz-2x}{2z-xy},\qquad z_y=\frac{xz-2y}{2z-xy}
$$

题型 5：方向导数与梯度

例题：求 $f(x,y)=x^2+y^2$ 在点 $(1,2)$ 沿方向 $\mathbf v=(3,4)$ 的方向导数。

解析：先单位化方向向量：

$$
\mathbf u=\frac{(3,4)}{5}=\left(\frac35,\frac45\right)
$$

梯度：

$$
\nabla f=(2x,2y)
$$

在 $(1,2)$ 处：

$$
\nabla f(1,2)=(2,4)
$$

方向导数：

$$
D_{\mathbf u}f=(2,4)\cdot\left(\frac35,\frac45\right)=\frac65+\frac{16}5=\frac{22}5
$$

最大方向导数为 $|\nabla f|=\sqrt{20}=2\sqrt5$，方向为梯度方向。

题型 6：切平面

例题：求曲面

$$
z=x^2+y^2
$$

在点 $(1,1,2)$ 处的切平面。

解析：

$$
f_x=2x,\qquad f_y=2y
$$

在 $(1,1)$ 处：

$$
f_x=2,\qquad f_y=2
$$

切平面公式：

$$
z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0)
$$

所以：

$$
z-2=2(x-1)+2(y-1)
$$

即：

$$
z=2x+2y-2
$$

题型 7：无条件极值

例题：求

$$
f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+5
$$

的极值。

解析：

$$
f_x=2x-2,
\qquad f_y=2y-4
$$

令 $f_x=f_y=0$，得：

$$
x=1,
\qquad y=2
$$

二阶导数：

$$
f_{xx}=2,
\quad f_{yy}=2,
\quad f_{xy}=0
$$

判别式：

$$
D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2=4>0,
\quad f_{xx}>0
$$

所以 $(1,2)$ 为极小值点。

极小值：

$$
f(1,2)=0
$$

题型 8：拉格朗日乘数法

例题：在约束

$$
x^2+y^2=1
$$

下求 $f(x,y)=xy$ 的最大值和最小值。

解析：设：

$$
L(x,y,\lambda)=xy-\lambda(x^2+y^2-1)
$$

求偏导：

$$
L_x=y-2\lambda x=0
$$

$$
L_y=x-2\lambda y=0
$$

$$
x^2+y^2=1
$$

由前两式：

$$
y=2\lambda x,
\quad x=2\lambda y
$$

若 $xy\ne0$，可得 $x^2=y^2$，即 $y=\pm x$。

当 $y=x$ 时，$2x^2=1$，$xy=x^2=\frac12$。

当 $y=-x$ 时，$2x^2=1$，$xy=-x^2=-\frac12$。

所以最大值为 $\frac12$，最小值为 $-\frac12$。

8.3 易错点汇总

• 多元极限存在要求所有路径结果一致；只验一条路径不能证明存在。
• 偏导数存在不一定可微。
• 方向导数中的方向向量必须单位化。
• 隐函数求偏导时可以用 $z_x=-F_x/F_z$，但前提是 $F_z\ne0$。
• 拉格朗日乘数法求出候选点后，还要比较函数值。

9. 重积分

9.1 二重积分核心思想

二重积分：

$$
\iint_D f(x,y)d\sigma
$$

表示函数在平面区域 $D$ 上的累积。

计算关键：确定积分区域，选择合适的积分次序或坐标系。

9.2 常见区域表示

$X$ 型区域

$$
D={(x,y)\mid a\le x\le b,\ \varphi_1(x)\le y\le\varphi_2(x)}
$$

则：

$$
\iint_D f(x,y)d\sigma=\int_a^b dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy
$$

$Y$ 型区域

$$
D={(x,y)\mid c\le y\le d,\ \psi_1(y)\le x\le\psi_2(y)}
$$

则：

$$
\iint_D f(x,y)d\sigma=\int_c^d dy\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)dx
$$

极坐标

$$
x=r\cos\theta,
\qquad y=r\sin\theta,
\qquad d\sigma=rdrd\theta
$$

适合圆、扇形、圆环区域，或被积函数含 $x^2+y^2$。

9.3 常考题型与解析

题型 1：直接计算二重积分

例题：计算

$$
\iint_D(x+y)d\sigma
$$

其中 $D={(x,y)\mid 0\le y\le x\le1}$。

解析：区域可写为：

$$
0\le x\le1,
\quad 0\le y\le x
$$

所以：

$$
\iint_D(x+y)d\sigma=\int_0^1\int_0^x(x+y)dydx
$$

先对 $y$ 积分：

$$
\int_0^x(x+y)dy=xy+\frac{y^2}{2}\bigg|_0^x=x^2+\frac{x^2}{2}=\frac32x^2
$$

再对 $x$ 积分：

$$
\int_0^1\frac32x^2dx=\frac12
$$

题型 2：交换积分次序

例题：把

$$
\int_0^1 dx\int_{x^2}^{x}f(x,y)dy
$$

改为先对 $x$ 积分。

解析：区域为：

$$
0\le x\le1,
\quad x^2\le y\le x
$$

边界曲线为 $y=x^2$ 和 $y=x$。整体 $y$ 范围：$0\le y\le1$。

由 $y\le x$ 得 $x\ge y$；由 $y\ge x^2$ 得 $x\le\sqrt y$。

所以：

$$
\int_0^1 dx\int_{x^2}^{x}f(x,y)dy
=\int_0^1 dy\int_y^{\sqrt y}f(x,y)dx
$$

易错点：交换次序一定要画图，否则上下限容易写反。

题型 3：极坐标计算

例题：计算

$$
\iint_D e^{x^2+y^2}d\sigma
$$

其中 $D:x^2+y^2\le1$。

解析：用极坐标：

$$
x^2+y^2=r^2,
\quad d\sigma=rdrd\theta
$$

区域：

$$
0\le r\le1,
\quad 0\le\theta\le2\pi
$$

所以：

$$
\iint_D e^{x^2+y^2}d\sigma=\int_0^{2\pi}\int_0^1 e^{r^2}rdrd\theta
$$

令 $u=r^2$，$du=2rdr$：

$$
\int_0^1e^{r^2}rdr=\frac12(e-1)
$$

故：

$$
\iint_D e^{x^2+y^2}d\sigma=2\pi\cdot\frac12(e-1)=\pi(e-1)
$$

9.4 三重积分

柱坐标：

$$
x=r\cos\theta,
\quad y=r\sin\theta,
\quad z=z,
\quad dV=rdrd\theta dz
$$

球坐标：

$$
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,
\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,
\quad z=\rho\cos\varphi
$$

$$
dV=\rho^2\sin\varphi,d\rho d\varphi d\theta
$$

例题：用球坐标求半径为 $a$ 的球体积。

球体：

$$
0\le\rho\le a,
\quad 0\le\varphi\le\pi,
\quad 0\le\theta\le2\pi
$$

体积：

$$
V=\int_0^{2\pi}\int_0^\pi\int_0^a \rho^2\sin\varphi,d\rho d\varphi d\theta
$$

$$
=\left(2\pi\right)\left(2\right)\left(\frac{a^3}{3}\right)=\frac43\pi a^3
$$

9.5 易错点汇总

• 极坐标、柱坐标、球坐标的雅可比因子不能漏：分别是 $r,r,\rho^2\sin\varphi$。
• 交换积分次序时，区域边界要重新表达。
• 圆域优先考虑极坐标，球域优先考虑球坐标，圆柱域优先考虑柱坐标。
• 积分限必须体现区域，不要把变量范围想当然写成常数。

10. 曲线积分与曲面积分

10.1 曲线积分

第一类曲线积分

$$
\int_L f(x,y)ds
$$

表示沿曲线按弧长累加。若曲线参数方程为：

$$
x=x(t),\quad y=y(t),\quad \alpha\le t\le\beta
$$

则：

$$
ds=\sqrt{[x’(t)]^2+[y’(t)]^2}dt
$$

第二类曲线积分

$$
\int_L Pdx+Qdy
$$

与曲线方向有关。参数化后：

$$
\int_\alpha^\beta \left[P(x(t),y(t))x’(t)+Q(x(t),y(t))y’(t)\right]dt
$$

10.2 格林公式

若 $D$ 是平面有界闭区域，边界 $L$ 取正向，则：

$$
\oint_L Pdx+Qdy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)d\sigma
$$

正向：沿边界走时，区域始终在左手边。

10.3 常考题型与解析

题型 1：第一类曲线积分

例题：设 $L$ 为第一象限内圆 $x^2+y^2=a^2$ 的四分之一圆弧，计算：

$$
\int_L(x^2+y^2)ds
$$

解析：在圆弧上 $x^2+y^2=a^2$，所以：

$$
\int_L(x^2+y^2)ds=a^2\int_L ds
$$

四分之一圆弧长为 $\frac{\pi a}{2}$，故：

$$
\int_L(x^2+y^2)ds=a^2\cdot\frac{\pi a}{2}=\frac{\pi a^3}{2}
$$

题型 2：第二类曲线积分直接参数化

例题：沿曲线 $y=x^2$ 从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$，计算：

$$
\int_L y,dx+x,dy
$$

解析：参数化：

$$
x=t,
\quad y=t^2,
\quad 0\le t\le1
$$

$$
dx=dt,
\quad dy=2t,dt
$$

所以：

$$
\int_L ydx+xdy=\int_0^1(t^2\cdot1+t\cdot2t)dt
=\int_0^1 3t^2dt=1
$$

也可以观察：

$$
ydx+xdy=d(xy)
$$

所以积分等于端点 $xy$ 的差：

$$
1\cdot1-0=1
$$

题型 3：格林公式

例题：$L$ 为圆 $x^2+y^2=R^2$ 的正向边界，计算：

$$
\oint_L -y,dx+x,dy
$$

解析：

$$
P=-y,
\quad Q=x
$$

$$
\frac{\partial Q}{\partial x}=1,
\quad \frac{\partial P}{\partial y}=-1
$$

由格林公式：

$$
\oint_L -y,dx+x,dy=\iint_D(1-(-1))d\sigma=2\iint_Dd\sigma
$$

圆面积为 $\pi R^2$，故：

$$
\oint_L -y,dx+x,dy=2\pi R^2
$$

10.4 曲面积分与高斯公式

第一类曲面积分

$$
\iint_\Sigma f(x,y,z)dS
$$

与曲面方向无关。

若曲面 $z=z(x,y)$，则：

$$
dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2},dxdy
$$

第二类曲面积分（通量）

$$
\iint_\Sigma P,dydz+Q,dzdx+R,dxdy
$$

等价于向量场 $\mathbf F=(P,Q,R)$ 穿过曲面的通量：

$$
\iint_\Sigma \mathbf F\cdot\mathbf n,dS
$$

高斯公式

若闭曲面 $\Sigma$ 取外侧方向，围成空间区域 $\Omega$，则：

$$
\iint_\Sigma P,dydz+Q,dzdx+R,dxdy
=\iiint_\Omega\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV
$$

例题：设 $\Sigma$ 为半径 $a$ 的球面外侧，求向量场 $\mathbf F=(x,y,z)$ 的通量。

解析：

$$
\operatorname{div}\mathbf F=\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}=3
$$

由高斯公式：

$$
\iint_\Sigma \mathbf F\cdot\mathbf n,dS=\iiint_\Omega3dV=3\cdot\frac43\pi a^3=4\pi a^3
$$

10.5 易错点汇总

• 第一类曲线积分用 $ds$，与方向无关；第二类曲线积分用 $dx,dy$，与方向有关。
• 格林公式要求闭曲线且正向；方向反了结果取负。
• 曲面积分第二类必须注意曲面方向，外侧/上侧/下侧会影响符号。
• 高斯公式只能直接用于闭曲面；非闭曲面要补面再减去补面的通量。
• 看到 $Pdx+Qdy$ 不要直接当面积，先判断能否用格林公式或是否为全微分。

11. 无穷级数

11.1 数项级数核心概念

级数：

$$
\sum_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots
$$

部分和：

$$
S_n=\sum_{k=1}^n a_k
$$

若 $S_n$ 有有限极限 $S$，则级数收敛；否则发散。

必要条件：若 $\sum a_n$ 收敛，则：

$$
\lim_{n\to\infty}a_n=0
$$

但 $a_n\to0$ 不保证级数收敛，例如调和级数 $\sum\frac1n$ 发散。

11.2 常用判别法

正项级数

• 比较判别法；
• 极限比较判别法；
• 比值判别法；
• 根值判别法；
• 积分判别法；
• $p$ 级数：

$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^p}\begin{cases}
\text{收敛},&p>1,\
\text{发散},&p\le1.
\end{cases}
$$

交错级数

莱布尼茨判别法：若 $a_n\ge0$，$a_n$ 单调递减且 $a_n\to0$，则：

$$
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}a_n
$$

收敛。

绝对收敛与条件收敛

• 若 $\sum |a_n|$ 收敛，则 $\sum a_n$ 绝对收敛。
• 若 $\sum a_n$ 收敛但 $\sum |a_n|$ 发散，则条件收敛。

11.3 常考题型与解析

题型 1：通项不趋零直接发散

例题：判断

$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n+1}
$$

敛散性。

解析：

$$
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1\ne0
$$

所以级数发散。

题型 2：极限比较判别法

例题：判断

$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^3+1}
$$

敛散性。

解析：当 $n\to\infty$ 时：

$$
\frac{n}{n^3+1}\sim\frac1{n^2}
$$

而 $\sum\frac1{n^2}$ 收敛，所以原级数收敛。

题型 3：比值判别法

例题：判断

$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n}
$$

敛散性。

解析：设

$$
a_n=\frac{n!}{n^n}
$$

则：

$$
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{n!}
=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n
$$

所以：

$$
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=e^{-1}<1
$$

由比值判别法，原级数收敛。

题型 4：交错级数与条件收敛

例题：判断

$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}
$$

的敛散性。

解析：

$$
a_n=\frac1n
$$

单调递减且趋于 $0$，由莱布尼茨判别法，交错调和级数收敛。

但：

$$
\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n-1}}{n}\right|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac1n
$$

发散，所以原级数是条件收敛。

11.4 幂级数

幂级数：

$$
\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n
$$

存在收敛半径 $R$：

• 当 $|x-x_0|<R$ 时绝对收敛；
• 当 $|x-x_0|>R$ 时发散；
• 当 $|x-x_0|=R$ 时需单独判断端点。

常用求半径公式：

$$
R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|
$$

或用比值判别法直接求。

题型 5：求幂级数收敛域

例题：求

$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-2)^n}{n3^n}
$$

的收敛域。

解析：考虑绝对值级数：

$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|x-2|^n}{n3^n}
$$

由比值判别法，要求：

$$
\left|\frac{x-2}{3}\right|<1
$$

即：

$$
|x-2|<3
$$

所以初步收敛区间为：

$$
-1<x<5
$$

检查端点：

• $x=5$：

$$
\sum\frac{3^n}{n3^n}=\sum\frac1n
$$

发散。

• $x=-1$：

$$
\sum\frac{(-3)^n}{n3^n}=\sum\frac{(-1)^n}{n}
$$

收敛。

因此收敛域为：

$$
[-1,5)
$$

题型 6：利用幂级数求和

例题：求

$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n2^n}
$$

解析：已知：

$$
-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}\quad(|x|<1)
$$

令 $x=\frac12$，得：

$$
\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n2^n}=-\ln\left(1-\frac12\right)=\ln2
$$

11.5 傅里叶级数基础

若函数 $f(x)$ 在 $[-l,l]$ 上满足相应条件，可展开为：

$$
f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right)
$$

其中：

$$
a_n=\frac1l\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}dx
$$

$$
b_n=\frac1l\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}dx
$$

若 $f(x)$ 为偶函数，则只含余弦项；若为奇函数，则只含正弦项。

11.6 易错点汇总

• $a_n\to0$ 只是级数收敛的必要条件，不是充分条件。
• 比值判别法当极限等于 $1$ 时失效，需要换方法。
• 幂级数端点必须单独检查。
• 条件收敛和绝对收敛要区分。
• 使用已知幂级数求和时要检查 $x$ 是否在收敛区间内。

12. 综合题型模板

12.1 极限题模板

1. 直接代入。
2. 若为未定式，分类处理：
   • 多项式/根式：因式分解、有理化；
   • 三角/指数/对数：等价无穷小或泰勒；
   • 幂指型：取对数；
   • 分子分母同趋零或无穷：可考虑洛必达；
   • 数列和式：考虑夹逼、裂项或定积分定义。
3. 检查是否有左右极限差异。

12.2 中值定理证明模板

1. 写明函数在闭区间连续、开区间可导。
2. 判断用哪个定理：
   • 端点值相等：罗尔；
   • 函数值差：拉格朗日；
   • 两个函数比值：柯西；
   • 结论有复杂表达式：构造辅助函数。
3. 由定理得到存在 $\xi$。
4. 化简为题目结论。

12.3 积分计算模板

1. 先看是否能直接套公式。
2. 再看是否能凑微分。
3. 乘积结构考虑分部积分。
4. 有理函数考虑除法和部分分式。
5. 根式考虑三角换元或代数换元。
6. 定积分先看奇偶性、周期性和对称性。

12.4 重积分模板

1. 画出积分区域。
2. 判断用直角坐标还是极坐标/柱坐标/球坐标。
3. 写清变量范围。
4. 不要漏雅可比因子。
5. 若积分难算，尝试交换积分次序。

12.5 级数题模板

1. 先看 $a_n\to0$ 否。
2. 正项级数：比较、极限比较、比值、根值、积分判别。
3. 交错级数：莱布尼茨判别。
4. 任意项级数：先看绝对收敛，再看条件收敛。
5. 幂级数：先求半径，再查端点。

13. 考前易错清单

• 不定积分是否漏写 $+C$？
• 定积分换元是否换了上下限？
• 等价无穷小是否误用于加减结构？
• 分段点是否检查左右极限、左右导数？
• 中值定理是否写出连续、可导条件？
• 极值题是否检查端点和不可导点？
• 多元方向导数方向向量是否单位化？
• 重积分极坐标是否漏乘 $r$？球坐标是否漏乘 $\rho^2\sin\varphi$？
• 曲线曲面积分是否注意方向？
• 幂级数端点是否单独判断？
• 反常积分是否写成极限？
• 最终答案是否符合题目变量、区间和单位要求？

14. 最后复习建议

1. 先公式后题型：公式背不熟，题型会卡在第一步。
2. 先基础后综合：极限、导数、积分是所有章节的底层工具。
3. 重做错题：高数期末最容易重复考察同类变形题。
4. 压轴题优先掌握模板：中值定理、定积分证明、重积分换序、幂级数端点判断是高频拉分点。
5. 考场先拿稳计算分：基础极限、求导、积分、微分方程、重积分计算通常步骤固定，应尽量不丢。

记忆口诀：极限看阶，导数看点，积分看形，重积分看域，级数看敛散，中值定理看条件。