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第一章极限

第一部分：微积分的本质思想

核心概念：
- 微分 (Differentiation)：将复杂问题切分为无数个微小的、可掌握的元素（如切圆为扇形或矩形条）。
- 积分 (Integration)：将处理好的微小元素重新拼凑、以此积少成多得到结果。
- 基础：为了处理“切得无限细”和“拼得无限多”，必须引入**极限（无穷小与无穷大）**的概念。

第二部分：求极限（核心重难点）

求极限是高数上册的基础，总结**“三步走”**战略：

1. 求解步骤

代入：第一步永远是把数字代进去看。
- 如果是常数/常数，直接得结果。
- 注意：$\frac{1}{0} = \infty$，无穷小 $\times$ 有界函数 $= 0$。
分类：识别“未定式”类型。
- 主要关注：$\frac{0}{0}$ 型、$\frac{\infty}{\infty}$ 型、$1^\infty$ 型。
- 其他类型（如 $0 \cdot \infty$, $\infty - \infty$）通常转化为前三种。
化简/变形：
- 抓“罪魁祸首”：如果是 $x \to 2$ 且分母为0，说明分母里藏着一个 $(x-2)$，一定要把它约掉。
- 有理化：看到根号相减 $\sqrt{A} - \sqrt{B}$，立刻想到分子分母同乘 $\sqrt{A} + \sqrt{B}$。

2. 三大核心解题工具

A. 等价无穷小代换 (适用于 $x \to 0$ 或无穷小量)

常用公式：
- $\sin x \sim x, \tan x \sim x, \arcsin x \sim x, \ln(1+x) \sim x, e^x - 1 \sim x$
- $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$
- $(1+x)^a - 1 \sim ax$
铁律：乘除法可以换，加减法绝对不能换！（除非拆成两个独立的极限计算，或者使用泰勒公式）。
技巧：只要是无穷小 $\Delta \to 0$，不管 $\Delta$ 长得多丑，都可以代换。例如 $\ln(\cos x)$，可以构造成 $\ln(1 + (\cos x - 1))$，进而代换。

B. “抓大头” (适用于 $x \to \infty$)

思想：在加减法中，谁的增长速度最快，谁就说了算，其他的可以忽略（当做0）。
无穷大阶梯（从小到大）：
$$ \ln x \ll x^n \ll a^x \ll x! \ll x^x $$
(注意：$a > 1, n > 0$)
例子：$\lim_{x \to \infty} \frac{5x^2 + 7x}{6x^2 + 8x}$，眼里只有 $x^2$，结果直接看系数比 $5/6$。
逆向思维：当 $x \to 0$ 时，阶数越低（次数越小）的项反而是“大头”。

C. $1^\infty$ 型极限 (与自然常数 $e$ 有关)

标准形式：$\lim (1 + \Delta)^{\frac{1}{\Delta}} = e$ （其中 $\Delta \to 0$）。
通用解法：
1. 凑公式：先加后减，凑出 $1 + \text{无穷小}$，再调整指数。
2. 改写公式：利用 $u^v = e^{v \ln u}$，将指数运算转化为乘法运算。

第三部分：函数的连续性与间断点

1. 连续的定义

公式：$\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$。
直观理解：趋近的过程（路上的风景）等于最终的结果（终点）。
做题技巧：题目若已知函数连续，求参数，通常意味着左右极限相等且等于函数值。

2. 间断点分类

第一类间断点（左右极限都存在）：
- 可去间断点：左右极限相等，但不等于 $f(a)$（或者 $f(a)$ 无定义）。就像路中间有个坑，补上就连续了。
- 跳跃间断点：左右极限不相等。就像台阶断层。
第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）：
- 无穷间断点：趋向于无穷大（如 $1/x$ 在 0 处）。
- 振荡间断点：无限震荡，没有定值（如 $\sin(1/x)$ 在 0 处）。

第四部分：经典例题解析

题目：已知 $f(x) = \frac{ax+b}{\sqrt{3x+1} - \sqrt{x+3}}$ ($x \neq 1$)，且 $f(1)=2$。若函数在 $x=1$ 处连续，求 $a, b$。

解题逻辑：

由连续性得极限值：因为连续，所以 $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 2$。
判断极限类型：当 $x \to 1$ 时，分母 $\sqrt{4} - \sqrt{4} = 0$。
推导分子条件：既然极限存在且等于2（非无穷大），分子必须也趋于0（构成 $0/0$ 型）。
- 即 $a(1) + b = 0 \Rightarrow b = -a$。
代回化简：
- 分子变为 $ax - a = a(x-1)$。
- 分母有理化：上下同乘 $(\sqrt{3x+1} + \sqrt{x+3})$。
- 分母变为：$(3x+1) - (x+3) = 2x - 2 = 2(x-1)$。
计算极限：
$$ \lim_{x \to 1} \frac{a(x-1) \cdot (\sqrt{3x+1} + \sqrt{x+3})}{2(x-1)} $$
- 约掉 $(x-1)$，代入 $x=1$。
- 结果 $= \frac{a \cdot (2+2)}{2} = 2a$。
求解：
- 极限值 $2a = 2 \Rightarrow a = 1$。
- 因为 $b = -a$，所以 $b = -1$。

第二章微分

第一部分：导数的本质与计算

1. 导数的灵魂：以直代曲

核心定义：导数不仅仅是公式（如 $(e^x)’=e^x$），而是变化率。
- 几何上：切线的斜率。
- 定义式：$f’(a) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(a+\Delta x) - f(a)}{\Delta x}$。
物理意义：瞬间的变化快慢。例如速度不是位移，而是位移对时间的导数。
微分符号：$dy$ 和 $dx$ 可以理解为被切成无穷小份的 $y$ 和 $x$，$\frac{dy}{dx}$ 就是它们变化比例的极限。

2. 求导技巧（避坑指南）

链式法则 (Chain Rule)：
- 比喻：菜价涨幅（农民→菜贩→食堂→学生），中间环节的倍率是相乘关系。
- 应用：路灯下人影移动速度问题。建立几何关系后，对时间 $t$ 求导，利用链式法则连接变量。
判断可导性：
- 铁律：判断某点（特别是分段点、无定义点）是否可导，必须用极限定义式，不能直接用求导公式代入。
- 反例：$y = \sqrt[3]{x} \sin x$ 在 $x=0$ 处，直接求导公式会失效（分母为0），但用定义式计算极限是存在的（导数为0）。
隐函数求导：
- 方法：方程两边同时对 $x$ 求导。凡是遇到 $y$ 的项，求导后要乘一个 $y’$（链式法则）。
- 技巧：遇到幂指函数（如 $y=x^{\sin x}$）或连乘式，先取对数再求导（对数求导法），能化繁为简。
参数方程求导：
- 一阶导：$\frac{dy}{dx} = \frac{y’(t)}{x’(t)}$。
- 二阶导（高频易错点）：$\frac{d^2y}{dx^2} \neq \frac{y’’(t)}{x’’(t)}$。
- 正确做法：二阶导是对 $x$ 再求导，所以是 $\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx}) \cdot \frac{dt}{dx}$。即：（一阶导对 $t$ 的导数）$\div$ （$x$ 对 $t$ 的导数）。

3. 极坐标与切线

转换：$x = \rho \cos \theta, y = \rho \sin \theta$。
求切线斜率：不要去背极坐标求导公式。直接把它看作参数方程（参数是 $\theta$），写出 $x(\theta)$ 和 $y(\theta)$，然后用参数方程求导法 $\frac{dy}{dx} = \frac{y’(\theta)}{x’(\theta)}$。

第二部分：微分的应用（近似计算）

线性近似：$f(x+\Delta x) \approx f(x) + f’(x)\Delta x$。
- 用切线（直线）代替曲线进行计算。
- 例子：估算 $\sqrt{4.01} \approx \sqrt{4} + \frac{1}{2\sqrt{4}} \cdot 0.01$。
几何意义的升维：
- 圆的面积 $S = \pi r^2$ $\xrightarrow{求导}$ 圆的周长 $C = 2\pi r$。
- 球的体积 $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ $\xrightarrow{求导}$ 球的表面积 $S = 4\pi r^2$。
- 解释：圆环面积 $\approx$ 周长 $\times$ 宽度；球壳体积 $\approx$ 表面积 $\times$ 厚度。

第三部分：泰勒公式 (Taylor Series) —— 高数中的“大招”

讲师称其为“感谢祖宗”的公式，它解决了普通等价无穷小代换无法解决的加减法问题。

1. 泰勒公式的本质

目的：用多项式（Polynomials）去模拟任意复杂的函数（如 $\sin x, e^x$）。因为多项式好算（只有加减乘除）。
原理：在某一点（通常是0）让多项式的函数值、一阶导、二阶导…n阶导都等于原函数。
系数公式：$x^n$ 的系数是 $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$。

2. 必须死记硬背的展开式 (在 $x=0$ 处)

$\sin x$ (奇函数，奇次项，正负交替): $x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$
$\cos x$ (偶函数，偶次项，正负交替): $1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots$
$e^x$ (所有项，正): $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \dots$
$\ln(1+x)$: $x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ (注意分母没有阶乘)
$(1+x)^\alpha$: $1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2 + \dots$
$\tan x$ (记前几项): $x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5$

3. 泰勒公式的威力（应用）

解决极限中的“加减法失效”问题：
- 等价无穷小（如 $\sin x \sim x$）本质上是泰勒公式取了一项。
- 当 $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$ 时，直接用 $\sin x \sim x$ 会导致分子变成0，丢失精度。
- 正确做法：展开 $\sin x$ 到 $x^3$，即 $(x - \frac{x^3}{6}) - x = -\frac{x^3}{6}$。
- 原则：“上下同阶”。分母是3次，分子也要展开到3次。
反求高阶导数：
- 题目若问 $f^{(9)}(0)$，千万别硬算。
- 直接把函数展开成泰勒级数，找到 $x^9$ 前面的系数。
- 令 $Coefficient = \frac{f^{(9)}(0)}{9!}$，反解出 $f^{(9)}(0)$。
计算 $\pi$：利用 $\arctan x$ 的展开式，令 $x=1$，虽然收敛慢，但原理可行。

第四部分：伏笔

讲师在最后解释了微积分中误差消失的秘密：

在切分圆求面积时，我们将扇形近似为三角形，忽略了那一点点弧形带来的误差。
这个误差是 高阶无穷小（如 $O(\Delta \theta^3)$）。
当进行积分（累加）时，主要部分（一阶部分）累积成了面积，而高阶无穷小误差在极限过程中趋于0，因此最终结果是精确的。

第三章积分

第一部分：积分的本质与定义

1. 积分的几何意义

定积分 ($\int_a^b f(x) dx$)：求函数曲线 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴之间围成的面积。
切分思想：将面积切分为无数个宽度为 $dx$（无穷小）、高度为 $f(x)$ 的矩形条。
累加符号：$\int$ 是拉长的 $S$ (Sum)，代表求和。必须写 $dx$，因为它代表矩形的宽度，没有宽度就没有面积。

2. 微积分基本定理 (Newton-Leibniz Formula)

核心公式：$\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$。
意义：将复杂的“无限求和”问题转化为求“原函数”的问题。不用再去算繁琐的数列极限。
原函数 (Indefinite Integral)：$F’(x) = f(x)$。不定积分 $\int f(x) dx = F(x) + C$。千万别忘了加 $C$。

第二部分：积分计算技巧（核心重难点）

1. 凑常数法 (基本积分法的延伸)

原理：利用 $\int f(ax+b) dx = \frac{1}{a} F(ax+b) + C$。
操作：把 $ax+b$ 看作一个整体。求完原函数后，记得除以 $x$ 前面的系数 $a$。
例子：$\int \cos(2x+1) dx = \frac{1}{2} \sin(2x+1) + C$。
分母有根的情况：
- 若分母可因式分解（如 $x^2-2x-3$），拆成部分分式 ($\frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+1}$) 分别积分。
- 若分母不可分解（如 $x^2+4x+6$），配方成 $(x+2)^2+2$，利用 $\arctan$ 公式积分。

2. 凑微分法 (Integration by Substitution, 第一类换元)

核心思想：观察被积函数，看是否有一部分是另一部分的导数。将导数部分塞到 $d$ 后面变成 $d(\dots)$。
常见模式：
- $\int \frac{1}{x} dx = \int d(\ln x)$
- $\int x e^{x^2} dx \to$ 凑 $d(x^2)$，变成 $\frac{1}{2} e^{x^2}$
- $\int \frac{e^x}{e^{2x}+1} dx \to$ 分子分母同乘 $e^x$ 凑 $d(e^x)$，变成 $\arctan(e^x)$
三角函数有理式积分规律：
- 若 $f(-\sin x, \cos x) = -f(\sin x, \cos x)$（关于 $\sin$ 是奇函数），凑 $d(\sin x)$。
- 若 $f(\sin x, -\cos x) = -f(\sin x, \cos x)$（关于 $\cos$ 是奇函数），凑 $d(\cos x)$。
- 若 $f(-\sin x, -\cos x) = f(\sin x, \cos x)$（都变号不变），凑 $d(\tan x)$。

3. 第二类换元法 (去根号)

目标：消灭根号。
方法：
- 简单根号 ($\sqrt{ax+b}$)：直接令根号等于 $t$。
- 平方根号 ($\sqrt{a^2-x^2}, \sqrt{x^2+a^2}, \sqrt{x^2-a^2}$)：画直角三角形，利用勾股定理和三角函数换元。不要死记硬背公式，画图最直观。
定积分换元铁律：换元必换限。一旦引入新变量 $t$，积分上下限必须从 $x$ 的范围换成 $t$ 的范围。

4. 分部积分法 (Integration by Parts)

公式：$\int u dv = uv - \int v du$。
原理：将不好积分的部分 $u$ 和容易积分的 $dv$ 交换，通过求导降低 $u$ 的复杂度。
选 $u$ 口诀：反对幂三指 (反三角 > 对数 > 幂函数 > 三角 > 指数)。排在前面的选为 $u$（求导），排在后面的放到 $d$ 后面（求原函数）。
表格法 (快速解题)：适用于幂函数 $\times$ 三角/指数函数。一列求导直到0，一列求原函数，斜着相乘，正负交替。

5. 特殊技巧与公式

奇偶性：对称区间上，奇函数积分为0，偶函数积分倍半。做定积分前先看奇偶性，能省大把时间。
华莱士公式 (Wallis Formula / 点火公式)：
- 计算 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n x dx$ 或 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^n x dx$。
- 口诀：分母从 $n$ 开始往下乘，分子从 $n-1$ 开始往下乘。如果是偶次方，最后乘 $\frac{\pi}{2}$；如果是奇次方，最后乘 1。
- 例：$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 x dx = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{16}$。

第三部分：定积分的应用

1. 几何应用

求体积 (旋转体)：切片法。圆盘体积 = $\pi [f(x)]^2 dx$。积分即可。
求弧长：微元法。$ds = \sqrt{(dx)^2 + (dy)^2} = \sqrt{1 + (y’)^2} dx$。积分即可。
不用背公式：记住微元分析法（切分 -> 近似 -> 求和），现场推导。

2. 变上限积分函数求导

基本公式：$\frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt = f(x)$。
复杂情况：
- 上限是函数 ($\int_a^{g(x)}$)：$\frac{d}{dx} = f(g(x)) \cdot g’(x)$ （链式法则）。
- 上下限都是函数：拆成两部分分别求导。
- 被积函数含 $x$ ($\int_0^x x f(t) dt$)：先把 $x$ 当常数提出来，变成乘积求导 $(x \cdot \int …)’$。
- 被积函数 $x, t$ 纠缠 ($\int_0^x f(xt) dt$)：先换元（令 $u=xt$），把 $x$ 换到积分限或提出来，再求导。

总结：
这一部分涵盖了微积分计算最繁琐也最核心的技能。讲师强调了**“观察”**的重要性——观察被积函数的结构、奇偶性、导数关系，从而选择最简便的方法（凑微分、换元、分部积分或直接用公式）。

第四章扩展

这一部分是讲座的第四部分（拓展与冲刺），也是整个课程的尾声。讲师李天意在这个阶段主要攻克了高等数学中公认的“硬骨头”——中值定理证明题以及数列极限的进阶计算。

以下是这一部分的核心知识点与解题技巧笔记：

第一部分：中值定理证明题（期末压轴题）

中值定理证明题通常分为两类：等式证明和不等式证明。

1. 核心定理回顾

罗尔定理 (Rolle’s Theorem)：两端函数值相等 ($f(a)=f(b)$)，则中间必有一点导数为0 ($f’(\xi)=0$)。
拉格朗日中值定理 (Lagrange Mean Value Theorem)：两端连线的割线斜率等于中间某点的切线斜率 ($f’(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$)。核心作用：把两点函数值之差转化为导数。
柯西中值定理 (Cauchy Mean Value Theorem)：涉及两个函数的比率关系。

2. 等式证明题的“通法”

目标：证明某个含 $\xi$ 的等式成立（如 $f(\xi) = \xi f’(\xi)$）。
步骤：
1. 构造辅助函数：把结论中的 $\xi$ 换成 $x$，全部移到一边，令其为 $G(x)$。
  - 例：证 $f(\xi) - \xi f’(\xi) = 0$ $\Rightarrow$ 设 $g(x) = f(x) - x f’(x)$？不完全对！
  - 辅助函数逆推法：假设辅助函数为 $e^{A(x)} f(x)$ 或 $\frac{f(x)}{x}$ 等形式，求导后看是否能凑出结论中的式子。
  - 常用辅助函数模型：
    - 结论含 $f’(x) + k f(x)$ $\Rightarrow$ 构造 $e^{kx} f(x)$。
    - 结论含 $xf’(x) - f(x)$ $\Rightarrow$ 构造 $\frac{f(x)}{x}$。
    - 结论含 $xf’(x) + f(x)$ $\Rightarrow$ 构造 $x f(x)$。
2. 验证端点：验证辅助函数 $G(x)$ 在区间两端（或题目给定的特殊点）的值是否相等。
3. 使用罗尔定理：若 $G(a) = G(b)$，则必存在 $\xi$ 使得 $G’(\xi) = 0$，得证。

3. 不等式证明题

策略：用拉格朗日中值定理。
识别：题目出现函数值之差（如 $\ln b - \ln a$ 或 $e^b - e^a$），或者形式像导数。
步骤：
1. 构造函数 $f(x)$（如 $\ln x$）。
2. 对 $f(b) - f(a)$ 使用拉格朗日中值定理，转化为 $(b-a)f’(\xi)$。
3. 利用 $\xi \in (a, b)$ 的范围进行放缩（用魔法打败魔法）。例如 $\frac{1}{\xi}$ 在 $(a, b)$ 上必定大于 $\frac{1}{b}$ 且小于 $\frac{1}{a}$。

4. 拉格朗日中值定理求极限

适用场景：$0/0$ 型极限，分子是同类函数相减（如 $e^x - e^{\sin x}$）。
方法：
- 将分子 $f(A) - f(B)$ 转化为 $f’(\xi) \cdot (A-B)$。
- 其中 $\xi$ 介于 $A$ 和 $B$ 之间。当 $A, B \to 0$ 时，$\xi$ 也夹逼趋于0。
- 计算简化后的极限 $\lim f’(\xi) \cdot (A-B)$。

第二部分：数列极限的进阶计算（定积分定义法）

这是求无限项数列求和（形式为 $\lim_{n \to \infty} \sum$）的终极方法。

1. 三种解题思路判断

直接化简：能利用裂项相消或等比数列求和公式直接算出结果。（最简单，如 $\sum (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1})$）。
夹逼准则 (Squeeze Theorem)：
- 特征：分母中有一项变化很小，不影响整体量级（”大头”决定一切）。
- 操作：将分母中变化的项全部换成最小的（放缩变大）和最大的（放缩变小），若两端极限相等，则中间极限也相等。
定积分定义法 (Definite Integral Definition)：
- 特征：分母变化项影响量级，无法放缩，也不能直接求和。
- 核心公式：
  $$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right) = \int_0^1 f(x) dx $$

2. 定积分定义法“三步走”操作指南

提 $\frac{1}{n}$：无论式子多复杂，先强行提取一个 $\frac{1}{n}$ 到求和符号外面（作为 $dx$）。
凑 $\frac{i}{n}$：将求和符号内部所有的 $n$ 和 $i$ 都组合成 $\frac{i}{n}$ 的形式。
变积分：
- $\frac{1}{n} \to dx$
- $\frac{i}{n} \to x$
- $\sum \to \int_0^1$
- 计算定积分 $\int_0^1 f(x) dx$ 即为答案。

讲座结语：
讲师李天意通过6个小时的讲座，从极限、导数、积分一直讲到了最后的压轴题技巧。他强调数学复习不仅是记忆公式，更要形成肌肉记忆，通过理解背后的几何和物理意义来化解难题。

希望这份笔记能帮助你高效复习高等数学（上册），直追满绩！